ダンパーの中は、こんな感じで、オイルの中をピストンが上下して、路面のデコボコを吸収する方式ですが、古くなると、オイルが漏れる事もあります。経験上では、一輪だけなら、ショックが抜けても、多少ふわつくだけです。見てもいないので分かりませんが、ボンネットを押してみて、左右の硬さが、違うなら、ダンパーの可能性大です。

年式、費用からすると、たぶん、画像の上の方にある、コイルスプリングの中にある、ダンパー、ショックアブソーバーから、オイルがにじんでいるので、交換するのには、結構面倒な作業なので、お金が掛かるという事では。続く

他の修理屋さんで見て貰ったら如何ですか？
意外と何も言われないかもですよｗ
タイヤにオイルって時点で意味不明ですが恐らくショックアブソーバーからの漏れを言ってるのでしょうが自分で確認してみたらどうですか？
そんな目だったもので無いかあるいはその汚れも無いかも知れませんよ！

ミッションからドライブシャフトが出ていると思いますがその部分のオイルシールからのオイル漏れ（滲み）だと思います。ブレーキならフルードですのでオイルではないので・・・
オドメーターで700000キロ 17年も経てばゴムの劣化も当然あることでしょう。なるべく長く乗りたいなら不良個所を修理すべきです。

＞車輪にオイルが滲み出してきている
タイヤバルブからエアーの代わりにエンジンオイルを注入したとか？
「ミニ車検」ってわからないけど12ヶ月点検のこと？
状況がわからないわけで、ここで不特定多数に質問するよりも、そう指摘をしたそこの「整備の人」に納得いくまで質問したら？

ショックアブソーバーからのオイル漏れとかですかね。
ブレーキ系だと車検通らないし大丈夫とは言わないでしょうから。
ショックアブソーバーからだと次第に抜けてショックが効かなくなるでしょうからいずれ交換ですね。
長く乗るつもりなら、部位がどこにしてもどうせどこかで修理するのですから、私なら今修理しますね。

車輪にオイルは入っていないので、滲み出すことはありません。

オイルが車輪についてるとすれば、そのオイルがどこから滲み出しているのか突き止めるのが先です。

エンジンか、トランスミッションか、デファレンシャルか、、、。